【公約数】同じ数ずつ分けるときの人数は？ハロウィンのお化けたちがお菓子を分配する

　毎年10月31日はハロウィンです。この日は、お化けに仮装した子供たちが家々を訪ね歩き、「トリック・オア・トリート！（お菓子をくれなきゃいたずらするぞ！）」と言って、それぞれの家でお菓子をもらいます。

　近年は町内会でハロウィンイベントをやっていることも多く、10月31日は可愛らしいお化けがあちこちに現れます。お化けたちは、もらったお菓子をきちんと分けられるのでしょうか？

トリック・オア・トリート！（画像は写真ACより）

「同じ数ずつ分ける」とはどういうことか？

【問題】10月31日、お化けたちは家々を訪ね歩いてお菓子をたくさんもらいました。

(1) お化けたちは、もらったチョコレート54個とあめ玉72個を、あまりが出ないように同じ数ずつ分けました。このとき、お化けたちの人数は最も多くて何人ですか。

(2) (1)とは別のお化けたちは、もらったガム61個、チョコレート85個、あめ玉121個を同じ数ずつ分けたら、どのお菓子も同じ数だけあまりました。このとき、お化けたちの人数は最も多くて何人ですか。

　そもそも「同じ数ずつ分ける」とはどういうことでしょうか？

　簡単な数で考えてみます。たとえば、5人のお化けたちがチョコレート10個とあめ玉15個を同じ数ずつ分けるとき、1人のお化けがもらうチョコレートは10÷5＝2（個）、あめ玉は15÷5＝3（個）です。

　割り算をかけ算の形で表すと、チョコレートは10＝2×5、あめ玉は15＝3×5なので、お化けの人数である5は10と15の公約数になっています。したがって、いくつかのものを同じ数ずつ分けるときは公約数を求めればいいことがわかります。

　(1)は、チョコレート54個とあめ玉72個を、あまりが出ないように同じ数ずつ分けました。すなわち、お化けの人数は、54と72の両方を割り切れる数です。したがって、54と72の公約数を求めます。

　さらに、お化けの人数が最も多いとき、その人数は54と72の最大公約数になります。54と72をそれぞれ素因数分解すると、54＝2×3×3×3、72＝2×2×2×3×3なので、最大公約数は2×3×3＝18です。したがって、お化けたちの人数は最も多くて18人です。

　このとき、お化け1人がもらったお菓子は、チョコレートが54÷18＝3（個）、あめ玉が72÷18＝4（個）です。

　(2)は、ガム61個、チョコレート85個、あめ玉121個を同じ数ずつ分けたら、どのお菓子も同じ数だけあまりました。(1)のように簡単ではありませんが、とりあえず等式で表してみることが大切です。

　お化けの人数を□人、あまったお菓子を△個とします。また、ガム、チョコレート、あめ玉を何個ずつ分けたのかはわかりませんので、それぞれA個、B個、C個ずつ分けたとします。これらを「割る数×商＋あまり＝割られる数」に当てはめると、次の通りです。

　①②③の等式から△を消しましょう。

　④と⑤は（B－A）も（C－B）も整数なので、□は24と36の公約数です。24＝2×2×2×3、36＝2×2×3×3から、24と36の最大公約数は2×2×3＝12となり、お化けたちの人数は最も多くて12人とわかります。

カボチャお化け

　ハロウィンでよく見かけるカボチャお化けは、闇夜に現れる火の玉のジャック・オー・ランタンがモデルです。

　ジャック・オー・ランタンは「ジャックのランタン」という意味です。ランタンは手に持って使うランプですが、ジャックとはいったい誰なのでしょうか？

　さまざまな言い伝えが世界各地にありますが、最も有名なのはアイルランドのジャックでしょう。

　ジャックはばくちと酒が大好きな男でした。そんなジャックに悪魔が近づいて、魂を奪い取ろうとします。しかし、ジャックは悪魔を追っ払います。

　翌年のハロウィンの夜、ジャックは不健康な生活がたたって死亡します。魂となったジャックは天国を訪ねますが、生前の堕落っぷりのせいで天国に入れません。

　ジャックはしかたなく地獄へ行きます。そこには、一年前に追っ払った悪魔がいて、「おまえには二度と関わらないから、あっちへ行け！」と言うと、燃え盛る石炭をジャックに投げつけて地獄の門を閉ざしました。

　天国にも地獄にも行けなかったジャックは、悪魔が投げた石炭を拾ってカブに詰め、その明かりを頼りにこの世をさまようようになりました。これがジャック・オー・ランタンです。

　この話が伝わるアイルランドの人々は、アメリカに移り住んでも、母国のお祭りであるハロウィンを行おうとしました。しかし、ジャック・オー・ランタンを作るためのカブが不作だったので、その年に豊作だったカボチャをカブの代わりに使いました。これが好評で、カボチャお化けがハロウィンの名物になったそうです。