中学3年生の狸雄は、立方体を切断する問題が苦手で悩んでいました。そんな狸雄に声をかけてきたのが豆腐小僧です。
豆腐小僧は「包丁で切っても形の崩れない不思議な豆腐がありますよ。この豆腐を使って立方体の切断を勉強してみませんか？」と言います。狸雄は藁（わら）にも縋（すが）る思いで不思議な豆腐を買いました。
中学受験生や高校受験生は、狸雄と一緒に立方体の切断の基礎を学びましょう。
立方体を切断してできるのはどんな立体？
【問題】不思議な豆腐は、一辺の長さが6cmの立方体ABCD-EFGHです。この豆腐を(1)～(3)の3点を通る平面で切るとき、点Hを含む方の豆腐の体積は何cm3になりますか。
(1) 図1で、3点A、C、Fを通る平面で切ります。
(2) 図2で、IはBFの真ん中の点で、CJは4cmです。このとき、3点A、I、Jを通る平面で切ります。
(3) 図3で、KはADの真ん中の点です。このとき、3点C、F、Kを通る平面で切ります。
立方体の切断の問題では、立方体を切断してできる図形（切り口）がどのような形になるかを考える必要があります。このとき、次の2つのルールを利用します。
- 同じ面にある点を結ぶ。
- 向かい合う面の切り口は平行になる。
(1)は、ルール1を利用して、同じ面にあるAとC、CとF、FとAをそれぞれ結ぶと、下の図の左のようになります。（赤線が2点を結んだ線です）
点Hを含む方の豆腐の体積を求めるのは難しそうです。そこで、点Hを含まない方の豆腐の体積を求め、豆腐全体の体積から引くことにします。
上の図の右の立体（点Hを含まない方の豆腐）は三角錐C-ABFです。三角錐を含む錐体の体積は「底面積×高さ×\(\frac{1}{3}\)＝錐体の体積」なので、三角形ABFを底面とすると、三角形ABFに垂直なBCが高さです。三角形ABFは、AB＝BF、角ABFが垂直の直角二等辺三角形で、面積はAB×BF×\(\frac{1}{2}\)＝6×6×\(\frac{1}{2}\)（cm2）です。また、BC＝6（cm）です。
したがって、求める体積は（立方体ABCD-EFGHの体積）－（三角錐C-ABFの体積）＝6×6×6－6×6×\(\frac{1}{2}\)×6×\(\frac{1}{3}\)＝216－36＝180（cm3）です。
三角錐の体積は、三角形BCFを底面とするならば高さはAB、三角形ABCを底面とするならば高さはBFだよ。AB＝BC＝BF＝6（cm）だから、計算式は変わらないんだ。でも、三角形ACFを底面とすると、Bから三角形ACFに下ろした垂線が高さになるので、計算が面倒になる。立体の体積を求める場合、直角に注目して底面と高さを決めよう。
断頭四角柱の体積はどうやって求めるの？
(2)も、ルール1を利用して、同じ面にあるAとI、IとJをそれぞれ結ぶと、下の図の左のようになります。（赤線が2点を結んだ線です）
さらに、ルール2を利用して、AIとIJに平行な線をそれぞれに向かい合う面に描くと、下の図の右のようになります。このとき、IJを斜辺（直角と向かい合う辺）とする直角三角形を描いて、この直角三角形を、一辺がADと重なるように平行移動します。そして、点LとA、Jを結ぶとわかりやすいでしょう。（平行四辺形AIJLが切断面です）
(2)のように、四角柱を斜めに切断して、切断面が平行四辺形になる立体は「断頭四角柱（だんとうしかくちゅう）」と呼ばれることがあります。断頭四角柱の体積を求める場合、この四角柱をひっくり返して、高さが等しくなるように180°回転させてくっつけます。
下の図では、左の断頭四角柱をひっくり返して180°回転させてくっつけたのが右の四角柱です。
右の四角柱EFGH-G’H’E’F’の体積は「底面積×高さ＝体積」より6×6×8なので、この体積を半分にして6×6×8÷2＝144（cm3）です。
断頭四角柱の体積を無理やり公式化すれば、「底面積×高さの平均＝断頭四角柱の体積」となるよ。ただし、「高さの平均＝向かい合う辺の長さの和÷2」だ。たとえば、(2)の断頭四角柱は、IFと向かい合う辺はLHなので、平均の高さは（IF＋LH）÷2＝（3＋5）÷2＝4となって、体積は6×6×4＝144（cm3）と求められるんだ。この考え方は、三角柱や円柱などの柱体でも使えるよ。
切断面が台形になる立体の体積はどうやって求めるの？
(3)もまずは、ルール1を利用して、同じ面にあるCとF、CとKをそれぞれ結ぶと、下の図の左のようになります。（赤線が2点を結んだ線です）
次に、ルール2を利用して、CFに平行な線KMを向かい合う面に描きます。このとき、BC＝6（cm）、AK＝3（cm）なので、下の図の左のように、三角形BCFと相似な三角形AKMができる位置をMにします。（青線がCFに平行な線のKMです）
最後に、ルール1を利用して、同じ面にあるMとFを結ぶと、下の図の右のようになります。（緑線が2点を結んだ線です）
切断面CFMKは台形なので、(2)のように断頭四角柱と同じ考え方はできません。そこで、向かい合う面の三角形BCFと三角形AKMが相似なので、BA、CK、FMをそれぞれ小さい三角形AKMの方に延長します。延長した直線が一点Nで交わり、下の図のように三角錐N-BCFになります。
三角形BCFと三角形AKMが相似なので、三角錐N-BCFと三角錐N-AKMも相似です。三角形BCFと三角形AKMの相似比はBC：AK＝6：3＝2：1より、三角錐N-BCFと三角錐N-AKMの相似比も2：1です。したがって、NB：NA＝2：1より、NA＝AB＝6（cm）を求められます。
三角錐N-BCFの体積は（三角形BCFの面積）×NB×\(\frac{1}{3}\)＝6×6×\(\frac{1}{2}\)×12×\(\frac{1}{3}\)＝72（cm3）で、三角錐N-AKMの体積は（三角形AKMの面積）×NA×\(\frac{1}{3}\)＝3×3×\(\frac{1}{2}\)×6×\(\frac{1}{3}\)＝9（cm3）です。これより、立体AKM-BCFの体積は（三角錐N-BCFの体積）－（三角錐N-AKMの体積）＝72－9＝63（cm3）です。
したがって、求める体積は（立方体ABCD-EFGHの体積）－（立体AKM-BCFの体積）＝6×6×6－63＝153（cm3）です。
立体AKM-BCFの体積は相似比を使って求めることもできるよ。三角錐N-BCFと三角錐N-AKMの相似比は2：1なので、体積比が（2×2×2）：（1×1×1）＝8：1だから、立体AKM-BCFの体積は（三角錐N-BCFの体積）×\(\frac{7}{8}\)＝6×6×\(\frac{1}{2}\)×12×\(\frac{1}{3}\)×\(\frac{7}{8}\)＝63（cm3）だね。
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